Menjejaki Salasilah Teorem Terakhir Fermat: Melewati Tamadun, Abad dan Benua

Mengapakah seseorang itu perlu mengetahui salasilah Teorem Terakhir Fermat? Untuk makluman pembaca, teorem tesebut berada dalam suatu lipatan sejarah yang menakjubkan, khususnya dalam sejarah matematik.

Teorem Terakhir Fermat terangkum dalam bidang teori nombor. Sebelum tahun 1980, teori nombor tidak membayangkan akan kepentingannya yang besar. Namun demikian, selepas tahun 1980 apabila isu keselamatan siber begitu mencanak, disiplin tersebut menjadi sangat relevan, khususnya dalam bidang kriptografi.

Yang lebih utama dan membuka mata ialah pembuktian Teorem Terakhir Fermat itu sendiri yang secara langsung membina hubungan antara beberapa disiplin matematik yang berbeza. Suatu hubungan yang tidak terfikir sama sekali oleh matematikawan sebelum tahun 1995.

Seawal 3500 Sebelum Masihi (SM), masyarakat Mesir dan Babylonia bangga kerana matematik merekalah yang terbaik di dunia pada ketika itu, khususnya dalam hal yang berkaitan dengan pengiraan. Namun demikian, tidak lama selepas itu, orang Yunani pula terkehadapan dalam bidang tersebut walaupun tamadun Mesir lebih terdahulu muncul? Bagaimanakah hal ini boleh berlaku?

Jawapannya ialah orang Mesir pada ketika itu hanya menggunakan matematik untuk pembinaan monumen seperti piramid dan bangunan lain yang tersergam. Dengan kata lain, masyarakat Mesir menggunakan matematik untuk sesuatu kerja khusus di lapangan sahaja.

Kebanyakan peraturan pengiraan yang digunakan adalah yang mudah seperti segi tiga yang sisinya bernisbah 3:4:5 akan menghasilkan segitiga bersudut tepat. Juruukur tanah Mesir menggunakan tali yang dibahagi 12 bahagian bagi membuat segi tiga bersisi tiga, empat dan lima untuk mendapatkan segi tiga yang bersudut tepat.

Bagaimanakah orang Mesir mencipta kaedah ini? Tidak ada sebarang catatan rekod mengenainya. Kemungkinan besar hal tersebut adalah intuisi salah seorang daripada mereka. Boleh dikatakan yang masyarakat Mesir pada ketika itu tidak memikirkan dengan lebih mendalam akan “peraturan 3:4:5”, tetapi mereka hanya berminat untuk menggunakannya terus di lapangan.

Sehubungan dengan itu, terdapatlah seorang Yunani yang berasal dari Ionia yang begitu mengagumi peraturan 3:4:5 dan ingin mengkajinya. Beliau ialah Phytagoras.  Kajian beliau akan peraturan inilah yang telah membuka pintu revolusi, iaitu revolusi pemikiran matematik, lantas merubah sejarah sains keseluruhannya.

Pythagoras (571–497 SM)

Pythagoras ialah ahli matematik, ahli falsafah dan pemimpin. Beliau berhijrah ke Mesir dan bekerja di sana sebelum kembali ke Ionia, Yunani.

Para pengikut Pythagoras begitu yakin bahawa segala dalam alam ini boleh diungkapkan menggunakan nombor satu, dua, tiga, empat dan seterusnya. Mereka menggunakan sistem penomboran yang dipanggil sebagai sistem Acrophonic.

Berpandukan peraturan 3:4:5, Pytagoras memperkenalkan satu teorem yang kini dikenali sebagai teorem Pythagoras, iaitu bagi sesuatu segi tiga bersudut tepat, maka luas segi empat bagi sisi yang terpanjang adalah bersamaan dengan jumlah luas segi empat dua sisinya yang lain. Rekod menunjukkan ahli matematik Islam seperti Thabit Ibn Qurra dan Nasir al-Din al-Tusi juga melibatkan diri dalam pembuktian teorem Pythagoras.

Pierre de Fermat (1607–1665)

Peraturan 3:4:5 adalah satu daripada bentuk yang dikenali sebagai rangkap tiga Pythagoras (Pythagorean triples), yakni:Terdapat banyak lagi integer lain yang membentuk rangkap tiga Pythagoras seperti (5, 12, 13), (6, 8, 10), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 12, 15), (9, 40, 41), (13, 84, 85) dan (11, 60, 61).

Pierre de Fermat dilahirkan di Beaumont-de-Lomagne, Perancis. Beliau merupakan peguam, namun matematik merupakan hobinya. Fermat begitu terpesona tentang butiran rangkap tiga Pythagoras. Ditakdirkan juga bahawa rangkap tiga ini menjadi satu daripada bentuk persamaan Diophantine. Persamaan itu dinamakan sedemikian bersempena nama ahli matematik Yunani yang memperkenalkannya, iaitu Diophantus of Alexandria.

Pada tahun 1637, Fermat sedang menelaah sebuah buku karya Diophantus yang berjudul Arithmetica.  Tatkala tumpuan mata Fermat tiba pada masalah nombor lapan dalam buku tersebut, beliau terus mencatatkan sesuatu di ruang tepi dalam bahasa latin (fon berwarna merah).

Catatannya itu ataupun lebih tepat lagi adalah sebuah konjektur.  Konjektur ialah suatu pernyataan matematik yang didapati benar tetapi belum lagi dibuktikan secara analisis dan teliti bagi menghapuskan segala keraguan yang mungkin timbul kelak.

Dalam catatan tersebut, Fermat menyatakan bahawa beliau mengetahui kaedah untuk membuktikan konjekturnya. Malangnya, ruangan di tepi muka surat terlalu sempit untuk beliau berbuat demikian.

Namun demikian, sebaik selepas sahaja Fermat meninggal dunia pada tahun 1665, anak sulungnya, Clement Samuel menemukan buku tersebut yang mengandungi catatan bapanya. Samuel kemudian menerbitkan marginalia bapanya pada tahun 1670 untuk memaklumkan kepada dunia tentang kewujudan KTF. Fermat sendiri dikatakan ada membuat lakaran pembuktiannya untuk kes:

“Maraton” Konjektur Terakhir Fermat

Apabila terbitnya marginalia konjektur tersebut, maka banyaklah matematikawan cuba membuktikannya, termasuklah ahli matematik Swiss yang terkenal, Leonhard Euler. Disebabkan tiada sebarang kemajuan yang signifikan tentang konjektur itu, Euler begitu terdesak sehingga menghantar seorang kawannya untuk menggeledah rumah Fermat bagi mencari sebarang petunjuk. Rakannya kembali dan tidak menemukan apa-apa pun sepertimana yang dihajati oleh Euler.

Akhirnya, Euler berhempas-pulas dan berjaya membuktikan bagi kes n = 3, yakni, tiada sebarang penyelesaian untuk:

Euler menerbitkan pembuktiannya pada tahun 1770.  Walau bagaimanapun, sejarah mengisahkan bahawa Adrien-Marie Legendre, ahli matematik Perancis telah mengenal pasti sedikit “kecacatan” yang wujud dalam pembuktian Euler.

Setelah  n = 3 dan n = 4 berjaya dibuktikan, yakni tiada sebarang integer positif a, b dan c yang boleh memuaskan kedua-dua persamaan tersebut, maka yang tinggal hanyalah kes lain seperti:

… dan seterusnya.

Salah seorang ahli matematik yang begitu serius mencari pembuktian KTF ialah Sophie Germain, seorang ahli matematik wanita. Germain dilahirkan pada 1 April 1776 di Perancis.  Beliau mempelajari Matematik dengan cara belajar sendiri. Beliau meminati teori nombor, khususnya, apabila membaca makalah Legendre,  Essai sur la theorie des nombres (1789) dan makalah Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801).

Germain kemudian memasuki Ecole Polytechnique ketika berumur 22 tahun.  Malangnya, institusi tersebut tidak membenarkan mana-mana wanita sebagai pelajar.  Namun begitu, Germain begitu nekad dengan menggunakan nama samaran Antoine-August Le Blanc bagi mendapatkan nota pelajaran dari institusi berkenaan.

Melalui nama samaran tersebut itulah Germain menghubungi Gauss yang pada ketika itu Gauss merupakan profesor di Universiti Gottingen yang menyemak kerja KTF Germain.  Kemajuan yang ditunjukan oleh Antoine-August Le Blanc tentang KTF amat menarik perhatian Gauss.  Gauss dan Germain tidak pernah bersemuka. Gauss hanya mengetahui identiti sebenar Antoine-August Le Blanc pada tahun 1807, lantas mengesyorkan agar Universiti Gottingen menganugerahkan ijazah kehormat kepada Germain. Namun demikian, hal berkenaan sudah terlewat kerana Germain meninggal dunia lebih awal lagi.

Kemudian, Dirichlet pula berjaya membuktikan bagi kes n = 5, yakni tiada sebarang integer positif a, b dan c yang boleh memuaskan persamaan tersebut.  Dirichlet menerbitkan pembuktiannya pada September 1825.

Kemajuan KTF yang signifikan telah dibuat oleh seorang lagi ahli teori nombor German, Ernst Eduard Kummer pada akhir tahun 1840-an.  Pada ketika itu, Akademi Sains Perancis telah menawarkan sebanyak 3000 franc kepada sesiapa yang dapat membuktikan KTF, sekali gus menjadikannya sebagai sebuah teorem.

Dua orang ahli matematik lokal yang terkenal pada ketika itu, iaitu Gabriel Lame’ dan Augustin-Louis Cauchy berlumba-lumba bagi mendapatkan pembuktian KTF.  Pendekatan dalam pembuktian yang diambil oleh kedua-duanya telah sampai ke telinga Kummer.  Kummer mendapati bahawa kedua-dua pendekatan yang diambil oleh Lame’ dan Cauchy ada kecacatannya.

Kummer kemudiannya menulis sekeping surat kepada Akademi Sains Perancis memaklumkan akan perkara tersebut. Lame’ dan Cauchy begitu malu lantas mengalihkan fokus kerja matematik mereka kepada topik yang lain selepas itu.  Penghormatan yang tinggi perlu diberikan kepada Kummer kerana beliau berani menidakkan usaha Lame’ dan Cauchy dan dapat membuktikan KTF adalah benar untuk suatu kes khusus yang tak terhingga.

Imbuhan Kewangan

Masa berlalu dan banyak aktiviti penyelidikan berhubung dengan KTF telah dilakukan, namun kebanyakannya tidak menampakkan sebarang kemajuan yang memberansangkan sehinggalah Akademi Sains German menawarkan 100 000 mark untuk sesiapa sahaja yang dapat membuktikan KTF.  Hadiah kewangan tersebut ditawarkan oleh Paul Wolfshkehl, seorang industrialis, doktor dan ahli matematik amatur yang terlalu meminati teori nombor.

Hadiah lumayan yang ditawarkan Wolfshkehl memotivasikan matematikawan pada ketika itu untuk mencari pembuktian KTF ataupun sebaliknya, yakni contoh balas (counter example) sekiranya ada.  Pada tahun pertama hadiah itu ditawarkan, iaitu pada tahun 1908, sebanyak 621 pembuktian KTF telah diterima untuk dinilai.

Ahli matematik yang bertanggunghawab untuk tugasan tersebut ialah seorang ahli matematik di Universiti Gottingen yang dikenali sebagai F. Schlichting. Penyerahan makalah yang disemak oleh Schlichting berlanjutan sehingga tahun 1974. Schlichting mendedahkan yang ada makalah yang dikirim terpaksa ditolak mentah-mentah dan ada yang sangat melucukan.

Konjektur Taniyama-Shimura (KTS)

Kemajuan KTF yang paling signifikan berlaku dalam suatu persidangan matematik antarabangsa di Tokyo pada tahun 1955 apabila seorang ahli matematik muda bernama Yutaka Taniyama membentangkan suatu konjektur. Konjektur ini sungguh istimewa kerana membina suatu pertalian antara dua bidang matematik yang amat berbeza sama sekali, iaitu topologi, yakni disiplin yang mengkaji ruang atau bentuk yang invarian setelah bengkokan, regangan dan sebagainya diperlakukan dan teori nombor, iaitu bidang yang mengkaji tentang integer dan fungsi aritmetik.

Sebenarnya, pertalian antara topologi dengan teori nombor tidak pernah disangka oleh matematikawan sebelum itu! Taniyama kemudiannya memurnikan dan memperhalusi konjektur tersebut bersama-sama rakan kerjasama beliau, Goro Shimura yang akhirnya dikenali sebagai KTS.

Seperkara lagi, KTS sangat susah untuk difahami secara literal.  Secara umumnya, KTS memberikan jaminan bahawa setiap lengkung eliptik rasional pasti berbentuk modular.

Ketika Taniyama mencadangkan KTS, hubungan antara KTS dengan KTF tidak jelas sama sekali. Hanya selepas 30 tahun, barulah matematikawan menyedari bahawa seandainya KTS boleh dibuktikan benar, maka KTF juga adalah benar. Sejarah berulang lagi! Kalau dahulu geometri digunakan untuk membuktikan teorem Pythagoras, maka kali ini geometri, khususnya, geometri aljabar jugalah yang diperlukan untuk membuktikan KTF.

Cahaya di Hujung Terowong

Selain Kummer, salah seorang lagi ahli matematik German yang banyak menyumbang kepada kamajuan dalam misi mencari pembuktian KTF ialah Gerhard Frey. Frey berjaya membina hubungan antara KTF dengan lengkung berelips pada tahun 1986.  Akhirnya, hubungan penting ini jugalah memberi asas kepada Wiles untuk membuktikan teorem tersebut.

Seorang lagi ahli matematik dan ahli sains komputer yang membawa sinaran baru kepada KTF ialah Samuel S. Wagstaff.  Wagstaff yang menggunakan ujian berangka berbantukan komputer berjaya mensimulasikan kebenaran pernyataan KTF untuk:

Sekali lagi, Wagstaff bersama-sama rakannya, Jonathan W. Tanner mengisytiharkan dalam makalah mereka bertajuk “New Bound for the First Case of Fermat’s last Theorem” yang diterbitkan dalam jurnal Mathematics of Computation pada tahun 1989 bahawa KTF adalah benar untuk nilai n yang besar. Hingga tahun 1993, mereka mendedahkan bahawa sekiranya ada contoh balas KTF sekalipun, maka n>4,000,000.

Hinggalah pada tahun 1986 apabila Ken Ribet, seorang profesor matematik di University of California, Berkeley berjaya membuktikan akan KTS mengimplikasikan KTF secara rasmi. Hal ini sekali gus menyebabkan pemasalahan pembuktian KTF telah diterjemahkan kepada pemasalahan pembuktian KTS.  Dengan kata lain, seandainya seseorang dapat membuktikan KTS, maka beliau secara tidak langsung membuktikan KTF!

Walau bagaimanapun, untuk membuktikan KTS bukanlah sesuatu perkara yang mudah kerana sudah menjadi spemasalahan matematik terbuka selama 30 tahun!  Siapakah pula yang sanggup memikul cabaran ini?

Andrew Wiles:  Penakluk KTF

Andrew Wiles cuba membuktikan KTF semenjak usia belasan tahun lagi, namun menemukan kegagalan. Beliau kemudiannya mengalihkan fokusnya kepada bidang matematik kontemporari pada ketika itu, iaitu lengkungan elips.

Wiles memperolehi ijazah Doktor Falsafah dalam bidang tersebut dari Universiti Cambridge pada tahun 1980 di bawah penyeliaan John Coates dengan tajuk tesis “Repiprocity Laws and the Conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer”. “Percintaan” Wiles dengan KTF sudah berlangsung begitu lama.  Hubungan KTS⟹KTF yang dibuktikan Ribet menyebabkan Wiles menghabiskan masa selama tujuh tahun bekerja di loteng rumahnya secara rahsia bagi membuktikan KTS.

Wiles menyifatkan usahanya itu umpama memasuki sebuah rumah agam yang gelap.  Sudah pasti seseorang akan tersadung perabot di dalamnya selama beberapa hari, bulan dan tahun.

Akhirnya, pada bulan Jun 1993, Wiles kembali ke Cambridge untuk memberikan syarahan bersiri yang berjudul “Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations”, selama tiga hari berturut-turut.  Wiles menyembunyikan arah tuju syarahan beliau selama tiga hari itu.

Namun begitu, pada hari terakhir, peserta syarahannya telah “menghidu” suatu peristiwa besar akan berlaku. Antara peserta tersebut termasuklah Ken Ribet yang menempah kerusi di barisan hadapan beserta sebuah kamera di tangan kerana ingin merakamkan detik bersejarah, iaitu penaklukan KTF.

Setelah Wiles menulis perkataan terakhir syarahannya di papan hitam, beliau menoleh ke belakang dan mengadap peserta sambil mengucapkan secara perlahan, “This proves Fermat’s Last Theorem. I think I’ll stop here.” Pada masa itu, dewan syarahan sunyi seketika sebelum menjadi gegak gempita akibat tepukan para peserta serta ucapan syabas dan tahniah kepada Wiles sebagai penakluk KTF. Lantaran itu, ahli matematik British tersebut terus menjadi selebriti dunia dengan serta-merta.

Namun demikian, pembuktian Wiles begitu teknikal sehinggakan ramai terlepas pandang akan “kecacatan” di sebaliknya. Sehinggalah pada hujung Ogos 1993, salah seorang rakan sekerja Wiles menarik perhatian ramai akan kecacatan tersebut.

Wiles terus berusaha bersungguh-sungguh untuk memperbaik pembuktiannya. Kali ini, beliau tidak bekerja berseorangan. Wiles telah mengundang rakan sekerjanya di Cambridge yang dikenali sebagai Richard Taylor, bekas pelajar PhD seliannya untuk membantu. Akhirnya, mereka berdua berjaya menutup kecacatan pembuktian asal Wiles.

Pada masa itu, sahlah KTF menjadi Teorem Terakhir Fermat.  Berita kejayaan Wiles telah dimuatkan pada muka hadapan New York Times edisi 24 Jun 1995.

Pada Jun 1997, Wilespun berangkat ke University Gottingen bagi menerima Hadiah Wolfskehl.  Beliau dianugerahi gelaran Sir Andrew Wiles pada tahun 2000 sebelum menerima hadiah berprestij Abel pada tahun 2016 daripada Akademi Sains Norway. Begitulah sejarah Teorem Terakhir Fermat yang melewati tamadun, abad, benua serta bangsa dan suatu manifestasi akan aspirasi, pelibatan dan usaha sama para sarjana.

Dr. Tahir Ahmad,
Felow Persatuan Sains Matematik Malaysia.