Dua Ayat yang Menafikan Sangkaan Dua Abad Euler

Harimau mati meninggalkan belang, gajah mati meninggalkan daging, manusia mati meninggalkan nama. Peribahasa Melayu ini membawa maksud bahawa seseorang yang berbudi dan berjasa akan meninggalkan nama yang baik dan akan terus dikenang meskipun telah tiada.

Antara tokoh yang telah meninggalkan kesan yang mendalam dalam sejarah ilmu pengetahuan termasuklah Leonhard Euler. Ahli matematik kelahiran Switzerland ini telah memberikan sumbangan yang besar dalam pelbagai cabang matematik.

Satu daripada jasa terbesar beliau ialah pengenalan konsep awal yang membawa kepada lahirnya bidang topologi, antara disiplin utama dalam matematik moden. Beliau turut diiktiraf sebagai Bapa Teori Graf hasil gagasannya yang menjadi asas kepada kajian dalam bidang tersebut hingga hari ini.

Di sebalik sumbangan besar yang ditinggalkan oleh Euler dalam dunia matematik, terdapat juga satu sangkaan ataupun konjekturnya yang tidak kesampaian. Pada tahun 1769, beliau mengemukakan satu kenyataan matematik yang dipercayainya benar, namun tidak disertakan dengan bukti yang kukuh pada waktu itu. Sangkaan ini kemudiannya dikenali sebagai Konjektur Euler.

Konjektur Euler 
Euler mengemukakan satu konjektur dalam bidang teori nombor yang berbunyi seperti yang berikut:

“Bagi sebarang integer n,k>1 serta ai dan $b$ untuk i=1,2,…,n yang kesemuanya berinteger positif dengan:Persamaan ini juga hanya mungkin berlaku jika n≥k.

Konjektur ini merupakan versi umum kepada konjektur yang diusulkan lebih awal, iaitu Konjektur Fermat yang diusulkan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1637, lebih satu abad sebelum Euler mengemukakan pandangannya. Konjektur Fermat kemudiannya dibuktikan sebagai benar oleh Andrew Wiles pada tahun 1995 dan kini dikenali sebagai Teorem Terakhir Fermat.

Berbalik kepada Konjektur Euler, sejak dikemukakan pada tahun 1769, banyak ahli matematik di seluruh dunia berusaha membuktikannya. Usaha ini turut mendapat dorongan daripada perkembangan dalam bidang logik matematik, khususnya melalui Teorem Ketidaksempurnaan yang diperkenalkan oleh ahli logik tersohor, Kurt Gödel pada tahun 1929. Melalui teoremnya, Gödel mengariskan bahawa sebarang kebenaran sesuatu fenomena matematik mahupun percanggahannya tidak mungkin dapat dibuktikan kewujudan kedua-duanya menerusi penggunaan sistem aksiom matematik yang sama.

Impak daripada Teorem Ketidaksempurnaan Gödel secara tidak langsung memberikan petunjuk penting terhadap Konjektur Euler: jika konjektur itu benar, pasti wujud buktinya dan jika salah, maka mesti ada contoh yang menidakkannya.

Akhirnya, setelah hampir dua abad berlalu, Konjektur Euler akhirnya terbukti tidak sah. Pada tahun 1966, dua ahli matematik, Lander dan Parkin menerbitkan satu contoh balas yang mematahkan konjektur tersebut, tepat 197 tahun selepas pertama kali dikemukakan oleh Euler. Lebih mengagumkan, contoh balas itu dihuraikan dalam hanya dua ayat ringkas dan sudah cukup untuk mencipta sejarah!

Dalam makalah tersebut, Lander dan Parkin mengemukakan satu contoh balas yang jelas bercanggah dengan syarat asal konjektur, iaitu:

Makalah tersebut menunjukkan bahawa sekiranya a1=27, a2=84, a3=110, a4=133, b=144, n=4 dan k=5, yakni n < k sekalipun, namun Konjektur Euler itu tetap benar, yakni bercanggah dengan syarat asal konjektur berkenaan (n≥k). Ungkapan tersebut diperolehi oleh mereka dengan bantuan simulasi menggunakan sebuah komputer super CDC 6600.

Seiring dengan penemuan Lander dan Parkin, muncul gelombang baharu dalam kalangan ahli matematik yang berusaha mencari lebih banyak contoh balas bagi menidakkan Konjektur Euler.

Antara yang paling menonjol ialah R. Frye, yang pada tahun 1988 berjaya memperoleh contoh seperti yang berikut:

Penemuan ini telah dibentangkan dalam Supercomputing ’88: Proceedings of the 1988 ACM/IEEE Conference on Supercomputing, Vol. II, dalam seksyen Science and Applications.

Pada tahun yang sama, seorang lagi ahli matematik, Noam D. Elkies, turut mempamerkan contoh balas yang lebih mengagumkan:

Seterusnya, pada tahun 2004, R. Frye sekali lagi mencatat kejayaan apabila berjaya menemukan satu lagi contoh balas bagi menidakkan Konjektur Euler:

Sesungguhnya, konjektur ini masih terus hidup sebagai cabaran intelektual yang mengundang minat banyak penyelidik untuk mencari lebih banyak contoh balas, meskipun konjektur ini telah lama dipatahkan,

Bagaimanakah dengan anda? Bersediakah untuk mencatat sejarah matematik anda sendiri?

Dr. Tahir Ahmad,
Felow Persatuan Sains Matematik Malaysia.